PROBABILIDADES - ANALISE COMBINATORIA

 

Esses conceitos formam a base da An lise Combinat ria e da Probabilidade. Eles s o usados para calcular o n mero de possibilidades em um cen rio e a chance de um resultado espec fico

1. Elementos

S o os objetos individuais ou dados que comp em um grupo (ex: n meros em um sorteio, pessoas em uma fila, ou as faces de uma moeda).

- Naipes: ♥ Copas C ♠ Espada E
♣ Paus P ♦ Ouro O

"01_09_9_C_O-MENSAGEIRO
↓ ↓ ↓ ↓ ∟ O-MENSAGEIRO
↓ ↓ C → Copas ♥
↓ 09 ↔ 9 → 9 ♥ (no baralho)
↓ ↨
→ 01 - O Mensageiro (no TARO)

"02_06_6_O_O-TREVO",
"03_10_1_E_O-NAVIO",
"04_03_K_C_A-CASA",
"05_07_7_C_A-ARVORE",
"06_03_K_P_AS-NUVENS",
"07_02_Q_P_A-COBRA",
"08_09_9_O_O-CAIXAO",
"09_02_Q_E_AS-FLORES",
"10_01_J_O_A-FOICE",

"11_01_J_P_O-CHICOTE",
"12_07_7_O_OS=PASSSAROS",
"13_01_J_E_A-CRIANCA",
"14_09_9_P_A-RAPOSA",
"15_10_1_P_O-URSO",
"16_06_6_C_A-ESTRELA",
"17_02_Q_C_A-CEGONHA",
"18_02_1_C_O-CACHORRO",
"19_06_6_E_A-TORRE",
"20_08_8_E_O-JARDIM",
"21_08_8_P_A-MONTANHA",
"22_02_Q_O_OS-CAMINHOSs",

"23_07_7_P_O-RATO",

"24_03_J_C_O-CORACAO",
"25_04_A_P_O-ANEL",
"26_10_1_O_OS-LIVROS",
"27_07_7_E_A-CARTA",
"28_04_A_C_O-CIGANO",
"29_04_A_E_A-CIGANA",
"30_03_K_E_OS-LIRIOS",
"31_04_A_O_O-SOL",
"32_08_8_C_A-LUA",
"33_08_8_O_A-CHAVE",

"34_03_K_O_O-PEIXE",
"35_09_9_E_A-ANCORA",
"36_06_6_P_A-CRUZ"

 

2. Arranjos

 

Agrupamentos onde a ordem dos elementos importa.

- Exemplo pr tico:

Em uma elei o de diretoria, escolher Jo o para Presidente e Maria para Vice diferente de escolher Maria para Presidente e Jo o para Vice.

A = 6 ♦ B = J ♥ C = 9 ♣

D = 9 ♦ E = 7 ♣ F = Q ♥

G = 7 ♣ H = K ♥ I = K ♣

Linha = L
Coluna = C

100 = L1 = A B C

010 = L2 = D E F

001 = L3 = G H I

 

110 = L1 + L2

101 = L1 + L3

011 = L2 + L3

111 = L1 + L2 + L3

 

200 = C1 = A D G

020 = C2 = B E H

002 = C3 = C F I

 

220 = C1 + C2

202 = C1 + C3

022 = C2 + C3

222 = C1 + C2 + C3

 

400 = V1 \ = A E I

004 = V2 / = G E C

404 = V1 + V2

 

300 = L1 + C1

030 = L2 + C2

003 = L3 + C3

 

3. Eventos

 

Na probabilidade, um evento qualquer conjunto de resultados poss veis de um experimento (ex: tirar um n mero par ao jogar um dado, ou sortear exatamente a combina o que voc escolheu).

Pode ser classificado como certo (ocorre com 100% de chance), imposs vel (0% de chance) ou poss vel/aleat rio.

Em um sorteio de 9 numeos aleatorios de um grupo formado 1 ao 36.

 

1 = 02 2 = 24 3 = 14

4 = 33 5 = 23 6 = 18

7 = 27 8 = 04 9 = 30

 

"02_06_6_O_O-TREVO",

"24_03_J_C_O-CORACAO",

"14_09_9_P_A-RAPOSA",

"33_08_8_O_A-CHAVE",

"23_07_7_P_O-RATO",

"18_02_1_C_O-CACHORRO",

"27_07_7_E_A-CARTA",

"04_03_K_C_A-CASA",

"30_03_K_E_OS-LIRIOS",

 

A = 6 ♦ B = J ♥ C = 9 ♣

D = 9 ♦ E = 7 ♣ F = Q ♥

G = 7 ♣ H = K ♥ I = K ♣

 

4. Combina es

 

Agrupamentos onde a ordem dos elementos N O importa. Apenas quem foi escolhido faz diferen a.

Exemplo pr tico:

- Em um jogo de loteria ou ao formar uma comiss o de 3 alunos de um grupo, a ordem em que os n meros ou os alunos s o sorteados/chamados n o altera o grupo final.

Represenracoes:

 

Linha(s) = L ←

Coluna(s) = C

Vertical(s) = V

 

Em uma matriz tr s por tr s (3 x 3). Obtemos nove combina es diferentes, partindo da seguinte logica. Da esquerda para a direita(→) forma-se as linhas(L1, L2, L3), de cima para baixo as colunas (C) e as verticais (V) inicadas pelas vertical(\/).

 

L1 = A + B + C C1 = A + D + G V1 = A + E + I
L1 = D + E + F C1 = B + E + H V2 = G + E + C
L1 = G + H + I C1 = C + F + I

Cartas = 6 7 8 9 10 J Q K A Naipes = ♣ ♥ ♠ ♦

 

Forma-se as combina es atrav s dos naipes denominadas trincas e sequencias;

Trinca 6♣ 6♥ 6♠ ou 6♥ 6♠ 6♦ Cartas iguais naipes diferentes.

Sequencias 5♣ 6♣ 7♣ | 8♥ 9♥ 10♥ | J♠ Q♠ K♠ | Q♦ K♦ A♦. Cartas diferentes naipes iguais.

 

 

A = 6 ♦ B = J ♥ C = 9 ♣

D = 9 ♦ E = 7 ♣ F = Q ♥

G = 7 ♣ H = K ♥ I = K ♣

 

 

5. Probabilidades

 

o ramo da matem tica que mede a chance de um evento espec fico ocorrer.

 

O c lculo feito dividindo o n mero de eventos favor veis (o que voc quer que aconte a) pelo n mero total de casos poss veis (tudo o que pode acontecer).A conex o: aqui que entram os Arranger e Combina es. Eles servem para voc descobrir o "n mero total de casos poss veis" ou "favor veis" em situa es complexas.

 

 

Para formar um conjunto de 9 cartas contendo exatamente tr s trincas e tr s sequ ncias, s o necess rios m ltiplos grupos id nticos. O n mero total de combina es poss veis calculado atrav s da An lise Combinat ria, utilizando permuta es com repeti o e o Princ pio Fundamental da

Contagem.

 

1. Entendendo os Grupos e Valores

Total de cartas v lidas: 36 cartas.

Valores (8): (6, 7, 8, 9 e 10) e (J, Q, K, A)

Naipes (4): Paus (P), Copas (C), Espadas (E), Ouros (O).

Trincas permitidas: Apenas 2 combina es de naipes s o aceitas (P, C, E) e (C, E, O).

O objetivo: 3 trincas de valores id nticos e 3 sequ ncias de valores em ordem (ex: 6-7-8).

 

2. Arranjos para 9 Cartas

 

Como as 9 cartas precisam formar um arranjo onde a ordem interna altera o jogo (j que trincas e sequ ncias possuem valores espec ficos), usamos o c lculo de Permuta o com repeti o para saber as formas de organizar esses conjuntos no espa o:

Considerando que as 9 cartas se dividem em grupos estruturais predefinidos (ex: tr s cartas para as trincas e tr s para as sequ ncias), a quantidade de permuta es ou arranjos de conjuntos de trincas e sequ ncias pode variar em at

 

3. Probabilidade das Trincas

 

A probabilidade de sortearmos exatamente as trincas com os naipes restritos calculada pela divis o entre os casos favor veis e os casos poss veis. A chance de tirar uma carta do naipe desejado em um baralho de 36 cartas de:

 

Como o baralho tem 4 naipes, tirar um naipe espec fico equivale a \(\frac{1}{4}\) (ou \(25\%\)). A probabilidade de obter as trincas exigidas com a repeti o necess ria para montar as 3 trincas em 9 cartas dada por combina es sucessiv

 

4. Probabilidade das Sequ ncias

 

A probabilidade de formar as sequ ncias tamb m envolve a escolha do valor inicial da sequ ncia (ex: 6, 7 ou 8) e o preenchimento dos valores

subsequentes. A probabilidade de formar uma sequ ncia de 3 cartas em um baralho de 36 calculada fixando a primeira carta (digamos, carta de valor) e multiplicando pelas chances de tirar as duas cartas seguintes:

 

 

Considerando que a ordem (ou naipe das sequ ncias) independe dos naipes restritos das trincas, a probabilidade modelada por:

Para visualizar e simular as probabilidades em detalhes, utilize calculadoras de probabilidade, como a Calculadora de Combina es Omni Calculator ou consulte a teoria de Probabilidade no p quer.